Дано: AA1 - перпендикуляр к плоскости Альфа, АВ и АС - наклонные Найти: х

6. AA1 - перпендикуляр к плоскости Альфа  ⇒
AA₁ ⊥ A₁B  ⇒
ΔAA₁B - прямоугольный, ∠AA₁B = 90° ⇒
$sin \alpha = \frac{a}{AB} \\ \\ AB = \frac{a}{sin \alpha}$

ΔABC : теорема синусов
$\frac{AB}{sin \beta } = \frac{b}{sinX} \\ \\ sinX= \frac{bsin \beta }{AB} = bsin \beta : \frac{a}{sin \alpha } = \frac{bsin \beta *sin \alpha }{a} \\ \\ sinX = \frac{b}{a} sin \beta sin \alpha \\ \\ X = arcsin( \frac{b}{a}sin \beta sin \alpha )$

8. ΔCBA₁ : Теорема косинусов
СA₁² = a² + b² - 2ab*cosβ
  AA₁ - перпендикуляр к плоскости Альфа  ⇒ AA₁⊥CA₁ ⇒
ΔCA₁A - прямоугольный, ∠CA₁A=90°  ⇒
AA₁ = CA₁*tgα
AA₁ - перпендикуляр к плоскости Альфа  ⇒ AA₁⊥BA₁ ⇒
ΔBA₁A - прямоугольный, ∠BA₁A =90° ⇒ по теореме Пифагора
X² = b² + AA₁² = b² + (CA₁*tgα)² =
= b² + CA₁²*tg²α = b² + (a² + b² - 2ab*cosβ)tg²α
$X = \sqrt{b^2 + (a^2 + b^2 - 2ab*cos \beta )*tg^2 \alpha }$