(х+2)(х+3)(х+8)(х+12)≤4х^2
Для того, чтобы решить данное неравенство, сначала решим уравнение
(х+2)(х+3)(х+8)(х+12)=4х^2
((х+2)(х+12)) ((х+3)(х+8))=4х^2
(х^2+14х+24)(х^2+11х+24)=4х^2
При х=0 уравнение не имеет смысла, тогда можем разделить обе части на х^2
(х^2+14х+24)(х^2+11х+24)/хх=4х^2/х^2
(х+14+24/х)(х+11+24/х)=4
Введем замену: х+11+24/х=t
(t+3)t=4
t^2+3t-4=0
По теореме Виета, t1+t2=-3,
t1*t2=-4;
t={-4;1}
Вернёмся к замене:
х+11+24/х=-4,
х+11+24/х=1;
х+24/х+15=0, |*х
х+24/х+10=0; |*х
х^2+15х+24=0, (1)
х^2+10х+24=0; (2)
1) х^2+15х+24=0
Д=225-96=129
х1=(-15-√129)/2,
х2=(-15+√129)/2;
2) х^2+10х+24=0
По теореме Виета, х1+х2=-10,
х1*х2=24;
х1=-6,
х2=-4;
Тогда уравнение (х+2)(х+3)(х+8)(х+12)=4х^2 равносильно уравнению (х+(-15-√129)/2)(х+6)(х+4)(х-(-15+√129)/2)=0
Значит, неравенство (х+2)(х+3)(х+8)(х+12)≤4х^2 равносильно неравенству (х+(-15-√129)/2)(х+6)(х+4)(х-(-15+√129)/2)≤0
Методом интервалов находим решения:
х принадлежит [(-15-√129)/2 ; -6] U [-4 ; (-15+√129)/2]
Ответ: [(-15-√129)/2 ; -6] U [-4 ; (-15+√129)/2]