Натуральное число m, которое при делении на 5 дает остаток 3, можно записать в виде 5х + 3, где х - произвольное натуральное число.
Натуральная число n, которое при делении в 3 дает остаток 2, можно записать в виде 3y + 2, где у - произвольное натуральное число.
Поэтому 3m + 5n = 3 (5х + 3) + 5 (3у + 2) = 15x + 9 + 15у + 10 = 15x + 15у + 19.
Поскольку первые два слагаемых полученной суммы делятся нацело на 15, а 19 - нет, то и значение выражения 3m + 5n не делится без остатка на 15.