Помогите решить :sinx*siny*sinzпредставит в виде суммы

0 голосов
145 просмотров

Помогите решить :sinx*siny*sinz
представит в виде суммы

Алгебра (85 баллов) | 145 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

В решении использую формулы:
1.Sin \alpha Sin \beta = \frac{1}{2}(Cos( \alpha - \beta )-Cos( \alpha + \beta ))
2.Cos \alpha =Sin( \frac{ \pi }{2} - \alpha )
(Ассоциативность *)
Sinx*Siny*Sinz=(Sinx*Siny)Sinz=\\ =\frac{1}{2}(Cos(x-y)-Cos(x+y))Sinz
(Из дистрибутивности * заскладываем на составляющие и считаем по отдельности)
Cos(x-y)Sinz=Sin(\frac{ \pi }{2}-(x-y))Sinz=\\ = \frac{1}{2} (Cos(\frac{ \pi }{2}-(x-y)-z)-Cos(\frac{ \pi }{2}-(x-y)+z))=\\ =\frac{1}{2} (Cos(\frac{ \pi }{2}-(x-y+z))-Cos(\frac{ \pi }{2}-(x-y-z)))=\\ =\frac{1}{2} (Sin(x-y+z)-Sin(x-y-z)).
Итого:
Cos(x-y)Sinz=\frac{1}{2} (Sin(x-y+z)-Sin(x-y-z))
Подобным способом считаем Cos(x+y)Sinz  и получаем:
Cos(x+y)Sinz=\frac{1}{2} (Sin(x+y+z)-Sin(x+y-z))
Теперь, всё выражение:
\frac{1}{2}(Cos(x-y)-Cos(x+y))Sinz=\frac{1}{2} (\frac{1}{2} (Sin(x-y+z)-Sin(x-y-z))-\frac{1}{2} (Sin(x+y+z)-Sin(x+y-z))
= \frac{1}{4} (Sin(x-y+z)-Sin(x-y-z)-Sin(x+y+z)+Sin(x+y-z))

(2.2k баллов)
0

Если нужно получить формулу как в wiki - нужно воспользоваться нечётностью функции f(x)=Sinx --> f(-x)=Sin(-x)=-Sinx и поменять знак у второго слагаемого. В рельтате получается под скобками: Sin(x+z-y)+Sin(y+z-x)+Sin(x+y-z)-Sin(x+y+z)

оставил комментарий (2.2k баллов)
Похожие задачи