Найдите все первообразные функции f1(X)=-x^2, графики которых касаются параболы...

Первообразные первой функции задаются формулой $F_1(x)=-\frac{x^3}{3}+C.$

В точке касания совпадают значения функций и значения их производных (заметим, что производная функции $F_1(x)$ равна $f_1(x)$ :

$\left \{ {{-x^2=2x} \atop {-\frac{x^3}{3}+C=x^2-3}} \right.$

Первое уравнение дает два значения x: x=0 и x= - 2.

1) x=0; подставляем во второе уравнение: C= - 3 $\Rightarrow F_1(x)=-\frac{x^3}{3}-3$

2) x=-2; $\frac{8}{3}+C=4-3; C=-\frac{5}{3}\Rightarrow F_1(x)=-\frac{x^3+5}{3}$

Замечание. Касание кривых в одной точке не мешает им пересекаться в другой (или даже других). Так, во втором случае кубическая парабола касается квадратичной в найденной точке и пересекается с квадратичной при некотором положительном x.