1) y^2 dx = (xy - x^2) dy
y^2 dx = xy dy - x^2 dy – раскрыли скобки
y (y dx - x dy) = -x^2 dy – перенесли слагаемое в другую часть, вынесли y за скобку
-y d(y/x) = -dy – разделим на x^2, получим полный дифференциал y/x. !!! Могло потеряться решение x = 0.
-d(y/x) = -dy/y – делим на y. !!! Могло потеряться решение y = 0.
d(y/x) - d(ln Cy) = 0 – заменяем dy/y на дифференциал логарифма
d(y/x - ln Cy) = 0 – сумма дифференциалов = дифференциалу суммы
y/x - ln Cy = 0 – решение №1.
Проверкой убеждаемся, что x = 0 и y = 0 – также решения.
(0, 0) – особая точка уравнения, в ней решение не единственно.
2) Область интегрирования изображена на рисунке. Двойной интеграл можно свести к повторным, для обоих порядков интегрирования получается не берущийся в элементарных функциях интеграл от exp(x)/x. Одна из его первообразных – интегральная экспонента Ei(x).
![\displaystyle\iint e^x\,dx\,dy=\int_0^{\ln 2}dy\int_{e^y}^2e^x\,dx=\int_0^{\ln2}(e^2-e^{e^y})\,dy=\\=e^2\ln2-\int_0^{\ln2}e^{e^y}\,dy=\left[\begin{array}{c}x=e^y\\y=\ln x\\dy=\frac{dx}{x}\end{array}\right]=\\=e^2\ln2-\int_1^2\frac{e^x}{x}\,dx=e^2\ln2-Ei(2)+Ei(1)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle%5Ciint+e%5Ex%5C%2Cdx%5C%2Cdy%3D%5Cint_0%5E%7B%5Cln+2%7Ddy%5Cint_%7Be%5Ey%7D%5E2e%5Ex%5C%2Cdx%3D%5Cint_0%5E%7B%5Cln2%7D%28e%5E2-e%5E%7Be%5Ey%7D%29%5C%2Cdy%3D%5C%5C%3De%5E2%5Cln2-%5Cint_0%5E%7B%5Cln2%7De%5E%7Be%5Ey%7D%5C%2Cdy%3D%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7Dx%3De%5Ey%5C%5Cy%3D%5Cln+x%5C%5Cdy%3D%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bx%7D%5Cend%7Barray%7D%5Cright%5D%3D%5C%5C%3De%5E2%5Cln2-%5Cint_1%5E2%5Cfrac%7Be%5Ex%7D%7Bx%7D%5C%2Cdx%3De%5E2%5Cln2-Ei%282%29%2BEi%281%29 "\displaystyle\iint e^x\,dx\,dy=\int_0^{\ln 2}dy\int_{e^y}^2e^x\,dx=\int_0^{\ln2}(e^2-e^{e^y})\,dy=\\=e^2\ln2-\int_0^{\ln2}e^{e^y}\,dy=\left[\begin{array}{c}x=e^y\\y=\ln x\\dy=\frac{dx}{x}\end{array}\right]=\\=e^2\ln2-\int_1^2\frac{e^x}{x}\,dx=e^2\ln2-Ei(2)+Ei(1)")