X^4+x=x(x^3+1)=x(x+1)(x^2-x+1)
представим x^3+4x^2-2x+1/x^4+x в виде A/x + B/(x+1) + (Cx+D)/(x^2-x+1)
А (x^3+1)+B(x^3-x^2+x)+C(x^3+x^2)+D(x^2+x)=x^3+4x^2-2x+1
Т. е.
A+B+C=1
-B+C+D=4
B+D=-2
A=1
Откуда A=1,B=-2,C=2,D=0
Т. о. x^3+4x^2-2x+1/x^4+x=1/x - 2/x+1 +2x/(x^2-x+1)=1/x - 2/x+1 +(2x-1)/(x^2-x+1)+1/(x^2-x+1)
Первые три слагаемых легко интегрируются, последнее заменой приводится к виду 1 / t^2+1