СРОЧНО!!! Хотя бы одно решите. 1. ** наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли точки M...

Question

СРОЧНО!!! Хотя бы одно решите.

1. на наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли точки M и N такие, что BC=BM и CA=AN, а на стонах AC и BC - точки P и K такие, что PM параллельно BC и KN параллельно AC. Докажите, что KC=CP

2.На стороне AC трегольника ABC взята точка Е такая, что ЕС=АВ. Пусть К-середина ВС, М-середина АЕ. Найдтие градусную меру угла ВАС, если угол КМЕ = 20 градусов.

Answer 1

Я могу и оба решить, тем более, что задачки симпатичные. Вот только чертеж приложить не могу, а без чертежа второе задание очень трудно объяснить. 

 

1.Пусть стороны АВ = с, AC = b, BC = a;

Рассмотрим треугольник AMP. Ясно, что он подобен исходному ABC, и АМ = с - а;

Значит, пропорция (в отношении сторон) равна (c - a)/c, и АР = b*(c - a)/c, откуда

РС = b - b*(c - a)/c = b*(1 - (c - a)/c)) = b*a/c;

Ровно так же (с точностью до замены  a <-> b) доказывается СК = a*b/c; ч.т.д.

 

2. Тут муторнее :(((. Нужно выполнить следующие построения. 

Провести ЕВ1 II АВ, EB1 = AB, треугольник ЕВ1С равнобедренный,

и в нем угол СЕВ1 = угол ВАС, это угол при вершине.

Теперь надо соединить В и В1 и в ПАРАРЛЛЕЛОГРАММЕ АЕВ1В провести "среднюю" линию ММ1 II AB; ясно, что она поделит ВВ1 пополам.

Вобщем-то, все эти построения сводятся к тому, чтобы доказать параллельность АС и КР, где Р - середина СВ1. Это уже видно, поскольку КР II ВВ1 как средняя линяя, а ВВ1 II АС (потому что АЕВ1В - параллелограмм). 

Отсюда уже видно, что и МЕРК - параллелограмм, и угол СЕР = 20 градусов, а угол СЕВ1 = 40 градусов, и это - ответ :))) без чертежа очень сложно объяснять :(((