1. Построение треугольника по трем данным сторонам автоматически
проверяет существование такого треугольника, то есть его
соответствие теореме о неравенстве треугольника: большая из данных
сторон должна быть меньше суммы двух других сторон.
Построение.
На прямой "а" откладываем отрезок АВ, равный данноЙ БОЛЬШЕЙ
стороне. Для этого циркуль раздвигаем на расстояние, равное данному
отрезку и из произвольной точки А на прямой "а" делаем засечку
этим радиусом, ставя в этом месте точку В. Из точек А и В, как из
центров, проводим дуги окружностей радиусов, равных соответственно длинам двух других сторон. Если треугольник существует, то эти окружности пересекутся. В точке пересечения ставим точку "С".
Соединив точку С с точками А и В, получаем искомый треугольник АВС.
2. а) На прямой "а" откладываем отрезок АВ, равный данному. Для
этого циркуль раздвигаем на расстояние, равное данному отрезку АВ и из произвольной точки А на прямой "а" делаем засечку этим радиусом, ставя в этом месте точку В. Из точек А и В, как из центров, проводим дуги окружностей радиуса R=АВ.
б) Соединяем точки пересечения этих окружностей
(точки С и D). Прямая СD - перпендикулярна прямой АВ, а отрезок СН (Н - точка пересечения прямых АВ и СD) - искомый серединный
перпендикуляр.
Доказательство.
СD - серединный перпендикуляр, так как построенная фигура АDBC -
ромб по определению (все стороны равны). В ромбе диагонали АD и ВС
пересекаются под прямым углом и делятся пополам.