Метод гаусса X+y-z=0 X-y+z=4 -x+y+z=2

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Перепишем данную систему в виде полной матрицы
$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\1&-1&1&4\\-1&1&1&2\end{array}\right]$
Преобразуем эту матрицу с помощью арифметических операций (умножение строк на число, сложение и вычитание строк) к матрице, у которой по главной диагонали будут стоять единицы.
I. Прямой ход метода Гаусса.
1) Из второй строки вычитаем первую (записываем вместо 2 строки); к третьей строке прибавляем первую строку (записываем вместо 3 строки).
$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\1&-1&1&4\\-1&1&1&2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\0&-2&2&4\\0&2&0&2\end{array}\right]$

2) Делим вторую строку на -2; из третье строки вычитаем вторую строку, умноженную на 2 (записываем вместо 3 строки).
$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\0&-2&2&4\\0&2&0&2\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\0&1&-1&-2\\0&0&2&6\end{array}\right]$

3) Делим третью строку на 2.
$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\0&1&-1&-2\\0&0&2&6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\0&1&-1&-2\\0&0&1&3\end{array}\right]$

II. Обратный ход метода Гаусса.
1) К первой строке прибавляем третью (записываем на место 1 строки); ко второй строке прибавляем третью (записываем на место 2 строки).
$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&0\\0&1&-1&-2\\0&0&1&3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c}1&1&0&3\\0&1&0&1\\0&0&1&3\end{array}\right]$

2) Из первой строки вычитаем вторую (записываем на место 1 строки).
$\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&0&3\\0&1&0&1\\0&0&1&3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\0&1&0&1\\0&0&1&3\end{array}\right]$

Итак, перепишем получившуюся матрицу, как систему уравнений и получим:
x = 2;
y = 1;
z = 3.
Ответ:(2;1;3)

gammilala_zn (2.0k баллов) 31 Май, 18

mikael2_zn · Answer 1 · 2018-05-31T18:28:38+0000

1 1 -1 0
1-1  1 4
-11 1 2

от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 1; к 3 строке добавляем 1 строку, умноженную на 1

1 1-1 0
0 -2 2 4
0 2 0 2

2-ую строку делим на -2
от 1 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 1; от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженную на 2

1 0  0 2
0 1 -1 -2
0 0  2 6

3-ую строку делим на 2  к 2 строке добавляем 3 строку, умноженную на 1

1 0 0 2
0 1 0 1
0 0 1 3 x=2 y=1 z=3