Решить интеграл методом замены переменной

Подставим:

$\displaystyle t= \arctan x ,\, dt= \frac{dx}{1+x^2}\\\\ \int { \frac{1}{\arctan x+4}\cdot \frac{1}{1+x^2} } \, dx = \int { \frac{1}{t+4}} \, dt =\ln (t+4)+C=\\\\=\ln(\arctan x +4)+C$

Последний интеграл находится тоже через подстановку:
$\displaystyle u=t+4 ,\, du =dt\\\\\int { \frac{1}{t+4}} \, dt = \int { \frac{1}{u}} \, du=\ln |u|+C=\ln u+C$

Однако из-за того что $-\pi/2 \ \textless \ t\ \textless \ \pi/2$ выполняется $t+4\ \textgreater \ 0$ , поэтому мы опустили знак модуля.