Y'+4y/x=6x^8 - неоднородное уравнение
замена переменных:
y=u*v; y'=u'v+uv'
uv'+u'v+4uv/x =6x^8
u(v'+4v/x)+u'v=6x^8
Находим переменную v, при которой выполняются условия:
1) u(4v/x+v')=0
2) u'v=6x^8
1) приравниваем u=0, ---> 4v/x+v'=0 ---> v'= - 4v/x
получаем уравнение с разделяющимися переменными:
dv/v=-(4/x)dx
∫ dv/v=-4∫dx/x --> ln(v)= - 4*ln(x) ---> v=1/x^4
2) v=1/x^4 ; находим u из: u' *v=6x^8
u'/x^4=6x^8
u'=6x^12 интегрируем:
u=∫6*x^12 dx=6x^13/13+c
так как y=u*v, то
y=(1/x^4)*(6x^13/13+C) или так: y=C/x^4+6x^6/13