Геометрический смысл производной -- тангенс угла наклона касательной к оси Ox. Если мы проведём касательную к графику в точке x0, то она будет параллельна оси Ox. Следовательно, тангенс и производная равны 0.
С другой стороны, в точке x0 функция достигает экстремума(локального минимального или максимального значения). Тогда, по лемме Ферма, производная в этой точке равна 0.