Докажите по индукции что для любого натурального n справедливо равенство :

1. Базис индукции: n=1.
$1= \dfrac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot 1+1)}{6}~~~\Rightarrow~~~ 1=1$
Итак, утверждение верное при n=1

2. Пусть и для n=k равенство будет выполняться.

${1}^{2} + {2}^{2} + {3 }^{2} + ... {k}^{2} = \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}$

3. Индукционный переход: n=k+1, то есть

${1}^{2} + {2}^{2} + {3 }^{2} + ... {k}^{2}+(k+1)^2 = \frac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \\ \\ \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}+(k+1)^2= \frac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \\ \\ (k+1)( \frac{k(2k+1)}{6} +k+1)= \frac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \\ \\ (k+1) \frac{2k^2+k+6k+6}{6}= \frac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \\ \\ (k+1) \frac{2k^2+7k+6}{6} = \frac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6} \\ \\ \frac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6} = \frac{(k+1)(k + 2)(2k + 3)}{6}$

На основании принципа математической индукции делаем вывод, что предположение справедливо для $n \in \mathbb{N}$