Пусть у нас есть 10 чисел, расположенных слева направо в порядке возрастания: a₁,a₂,...,a₅,a₆,...,a₁₀; Причем a₅ и a₆ входят в оба среднеарифметических.(Назовем теперь a₅ и a₆ x и y соответственно) Пусть сумма четырех первых чисел равна S₁, а четырех последних равна S₂; Имеем: 
⇔ 
Аналогично 
, откуда 
========
Вернемся к решению.
а) Пусть наибольшее число 18. Тогда наибольшее значение S₂ равно 18+17+16+15 = 66. Тогда наименьшее значение x+y равно 96-66=30. С другой стороны, максимальное значение x+y равно 14+13=27. Противоречие.
б) Пусть среднеарифметическое всех чисел равно 11,2. Значит
S₁+S₂+x+y=112; x+y = 96-S₂; S₁ = 16 ⇔ S₂ = 64; x+y = 32; С самого начала мы договорились о том, что числа расставлены по возрастанию, т.е, в частности, y>x; Значит минимальное значение y равно 17. А следовательно, минимальное значение a₇ равно 18. Тогда минимальная сумма S₂ равна 18+19+20+21>64. Противоречие.
в) Пусть максимальное число (a₁₀) равно X; Нам нужно найти минимальное среднее арифметическое, а значит, минимальное значение S₂; Пусть S₂ = X + X-d + X-2d + X-3d = 4X - 6d; Более того,
y>x ⇒ 
⇔ x > 17+7d/3 >17+d
Пусть x = 17+d + m, d≥1, m≥1 (т.к неравенство строгое). В итоге S₂ =
17+(m+d)+17+(m)+17+(m-d)+17+(m-2d); Учитывая, что минимальное значение m+d равно 2, получаем, что минимальное значение S₂ равно 4*17+2 = 70; Отсюда S₁ = 22, x+y = 26; Значит минимальное среднее арифметическое равно (70+22+26)/10 = 11,8