Семиклассник Вася Иванов переставил цифры в некотором числе, после чего полученное число...

Question

Семиклассник Вася Иванов переставил цифры в некотором числе, после чего полученное число сложил с исходным. В ответе у него получилось число 99…99 (99 раз). Учитель математики Иван Васильевич сказал, что ответ неверен. Вася очень обиделся на своего учителя – ведь Иван Васильевич не видел Васиного решения! Кто прав: Вася или его учитель?

Answer 1

Учитель прав.

Если сумма двух чисел оканчивается на 9, то сумма цифр, стоящих в этих числах в разряде единиц, равна 9, так как сумма двух цифр не может равняться 19. Продолжая такие рассуждения, получаем, что если сумма двух чисел состоит только из девяток, то все поразрядные суммы равны 9.

Обозначим за S сумму цифр в исходном числе, тогда в числе с переставленными цифрами сумма тоже S, а в их сумме, согласно написанному выше, сумма цифр равна 2S – чётному числу. Но в результате Васи сумма цифр равна 9 * 99 – сумма цифр нечётна, чего быть не может.