Решение во вложении.
Ради интереса заглянула в то самое решение, которое Вы назвали "ужасным". Оно вполне себе верное и даже красивое, но я понимаю, почему оно Вам не нравится: там нет никаких объяснений. Мой способ решения оказался аналогичным, но со всеми объяснениями.
Сначала доказываем подобие треугольников AEB и CKB. Они подобны по двум углам: B - общий угол, а углы AEB и CKB прямые. Из этого подобия получаем отношение BE/BK = AB/BC. Домножая обе части на BK/AB, получаем: BE/AB = BK/BC. А это уже отношение сторон треугольников BEK и BAC. Учитывая, что в этих треугольниках есть еще и общий угол ABC, получаем, что они также подобны.
Ищем коэффициент подобия. Если загляните в школьный учебник, то увидите: квадрат коэффициента подобия равен отношения площадей подобных треугольников.
Из подобия треугольников получаем отношения сторон AC и KE, равное коэффициенту k. Так как АС известно, то мы легко находим КЕ.
Дальше используем определение косинуса в треугольнике АЕВ. Прилежащий катет - это сторона BE, гипотенуза - сторона AB. Степень -1 в моем решении появилась из-за того, что я брала k = AB/BE (то есть то, как стороны большего треугольника относятся к сторонам меньшего), а при вычислении косинуса появилась дробь BE/AB.
Зная косинус, легко получаем синус, используя основное тригонометрическое тождество: (sin(x))^2 + (cos(x))^2 = 1 => cos(x) = sqrt(1 - (sin(x))^2).
Радиус окружности, описанной около треугольника, вычисляется по формуле: R = a/(2sin(x)), - где a - сторона треугольника, x - угол, лежащий против этой стороны.
Вот и все решение. Ответ: 3/4 см.
