Помогите пожалуйста 258....

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Пусть ВС = х, тогда АВ = 2х.

Найдем АС по теореме Пифагора:

$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}= \sqrt{(2x)^2-x^2}=\sqrt{4x^2-x^2}=\sqrt{3x^2}=x\sqrt{3}$ (см)

Формула радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

$r=\cfrac{a+b-c}{2}$ , где а, b - катеты, с - гипотенуза. Отсюда:

$\cfrac{AC+BC-AB}{2}=\sqrt{3} \\\\ \cfrac{x\sqrt{3}+x-2x}{2}=\sqrt{3} \\ x\sqrt{3}-x=2\sqrt{3} \\\\ x(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3}\\\\ x=\cfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} = \cfrac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \cfrac{6+2\sqrt{3}}{3-1} =\cfrac{2(3+\sqrt{3})}{2} =3+\sqrt{3}$

ВС = 3+√3 (cм)

АС = х√3 = (3+√3)√3 = 3√3 + 3 (см)

$S_{ABC}=\cfrac{1}{2} \cdot AC \cdot BC =\cfrac{(3\sqrt{3}+3)(3+\sqrt{3})}{2} = \cfrac{9\sqrt{3}+9+9+3\sqrt{3}}{2} = \\\\=\cfrac{12\sqrt{3}+18}{2} =\cfrac{2(6\sqrt{3}+9)}{2} =6\sqrt{3}+9$

Ответ: 6√3+9 см²