Доказать. На школьном уровне

Если f(x) и g(x) - обратные, то $f(g(x))=x$ . Тогда имеем следующее следствие: $(f(g(x)))'=1\\ f'(g(x))\cdot g'(x)=1$

Положим $g(x)=arctgx$ . Имеем

$(\mathrm{tg(\mathrm{arctgx})})'\cdot (\mathrm{arctgx})'=1\\ \\ \dfrac{1}{\cos^2(\mathrm{arctgx})} \cdot (\mathrm{arctgx})'=1\\ \\ (\mathrm{arctgx})'=\cos^2(\mathrm{arctgx})\\ \\ (\mathrm{arctgx})'=\bigg(\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}\bigg)^2\\ \\ (\mathrm{arctgx})'=\dfrac{1}{x^2+1}$

Доказать. ** школьном уровне