Пятый член арифметической прогрессии равен 22. а сумма седьмого и девятого равна 32....

Из условия: $a_5=22;~~ a_7+a_9=32$ . По формуле n-го члена арифметической прогрессии: $a_n=a_1+(n-1)d$ имеем, что

$a_5=a_1+4d=22\\ a_7+a_9=a_1+6d+a_1+8d=2a_1+14d=32$

Решим систему уравнений:

$\displaystyle \left \{ {{a_1+4d=22} \atop {2a_1+14d=32~|:2}} \right. ~~\Rightarrow~~~\left \{ {{a_1=22-4d} \atop {22-4d+7d=16}} \right. \\ 3d=-6\\ d=-2\\a_1=22-4\cdot(-2)=22+8=30$

Найдем теперь сумму первых 23 членов этой прогрессии:

$S_{23}=\frac{2a_1+22d}{2}\cdot 23=23(a_1+11d)=23\cdot(30+11\cdot(-2))= 184$

Ответ: 184.