16^ ( 1 - х + 2х² ) + 9^ ( 2х² + 1 - х ) ≥ 25/ 2^ ( х - 2х² )
Домножим обе части неравенства на положительное выражение 2^ ( х - 2х² )
После всех преобразований : 12 = 4 × 3 =>
12^ ( х - 2х² ) × 16^ ( 2х² - х + 1 ) + 12^ ( х - 2х² ) × 9^ ( 2х² - х + 1 ) - 25 ≥ 0
16 × ( 4/3 )^ ( 2х² - х ) + 9 × ( 3/4 )^ ( 2х² - х ) - 25 ≥ 0
Сделаем замену :
Пусть t = ( 4/3 )^ ( 2x² - x ),
t > 0
16t + ( 9/t ) - 25 ≥ 0
16t² - 25t + 9 ≥ 0
( t - 1 )( t - ( 9/16 )) ≥ 0
Решим методом интервалов:
+++++++°( 0 )+++++•[ 9/16 ]-----------•[ 1 ]++++++> t
1) t ≥ 1
2) t ≤ 9/16
1) t ≥ 1
( 4/3 )^ ( 2x² - x ) ≥ ( 4/3 )^0
2x² - x ≥ 0
x × ( 2x - 1 ) ≥ 0
+++++•[ 0 ]----------•[ 1/2 ]++++++++> x
__________________
x ≤ 0
x ≥ 1/2
__________________
2) t ≤ 9/16
( 4/3 )^ ( 2x² - x ) ≤ 9/16
( 4/3 )^ ( 2x² - x ) ≤ ( 4/3 )^ -2
2x² - x + 2 ≤ 0
Выражение 2х² - х + 2 всегда больше нуля
Значит, решений нет
При х ≤ 0 идут отрицательные числа, а нужны только положительные
При х ≥ 1/2
Наименьшее целое положительное решение данного неравенства является число 1
Ответ: 1