Решить уравнение при 1<=x<=6

Question

Решить уравнение при 1<=x<=6<img src="https://tex.z-dn.net/?f=+3log%5E2_%7B2%7Dsin%7B%5Cfrac%7B+%5Cpi+x%7D%7B3%7D%7D%2Blog_%7B2%7D%5Cbig%281-cos%7B%5Cfrac%7B2+%5Cpi+x%7D%7B3%7D%7D%5Cbig%29%3D2+" id="TexFormula1" title=" 3log^2_{2}sin{\frac{ \pi x}{3}}+log_{2}\big(1-cos{\frac{2 \pi x}{3}}\big)=2 " alt=" 3log^2_{2}sin{\frac{ \pi x}{3}}+log_{2}\big(1-cos{\frac{2 \pi x}{3}}\big)=2 " align="absmiddle" class="latex-formula">

Answer 1

3log₂²(sin(пx/3))+log₂(1-cos(2пx/3))=2

ОДЗ:

{sin(пx/3)>0 <=> 6k

{1-cos(2пx/3)>0 <=> x≠3k, тогда

общее ОДЗ: 6k

Так как 1-cos(2x)=2sin²x, то перепишем уравнение:

3log₂²(sin(пx/3))+log₂(2sin²(пx/3))=2

Замена: t=sin(пx/3)

3log₂²t+log₂(2t²)=2

3log₂²t+log₂2+log₂(t²)=2

3log₂²t+2log₂t-1=0

Замена: z=log₂t

3z²+2z-1=0

(z+1)(3z-1)=0

z=-1 и z=1/3

log₂t=-1 => t=1/2

log₂t=1/3 => t=∛2

sin(пx/3)=1/2

x=1/2+6k, k∈Z (1)

x=5/2+6k, k∈Z (2)

sin(пx/3)=∛2>1, решений нет

Тогда по условию 1≤x≤6, подбираем такие k, при которых условие будет выполняться. Тогда подставляя в (1) и (2) получаем, что на данном промежутке будет один корень - x=5/2.

Ответ: x=5/2.