Решить любым способом ,но нельзя применять производную и определение производной !!!
Теорема о среднем: если на отрезке [a,b] функция f(x) непрерывна, то найдётся такое ξ ∈ [a, b], что
![\displaystyle\lim_{h\to0}\frac1h\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi4+h}\frac{\sin x}x\,dx=\lim_{{h\to0}\atop{\xi\in\left[\frac\pi4,\frac\pi4+h\right]}}\frac1h\frac{\sin\xi}\xi\cdot h=\lim_{\xi\to\frac\pi4}\frac{\sin\xi}\xi=\frac{\sin\frac\pi4}{\frac\pi4}=\frac{2\sqrt2}{\pi}](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Cdisplaystyle%5Clim_%7Bh%5Cto0%7D%5Cfrac1h%5Cint_%7B%5Cfrac%5Cpi4%7D%5E%7B%5Cfrac%5Cpi4%2Bh%7D%5Cfrac%7B%5Csin+x%7Dx%5C%2Cdx%3D%5Clim_%7B%7Bh%5Cto0%7D%5Catop%7B%5Cxi%5Cin%5Cleft%5B%5Cfrac%5Cpi4%2C%5Cfrac%5Cpi4%2Bh%5Cright%5D%7D%7D%5Cfrac1h%5Cfrac%7B%5Csin%5Cxi%7D%5Cxi%5Ccdot+h%3D%5Clim_%7B%5Cxi%5Cto%5Cfrac%5Cpi4%7D%5Cfrac%7B%5Csin%5Cxi%7D%5Cxi%3D%5Cfrac%7B%5Csin%5Cfrac%5Cpi4%7D%7B%5Cfrac%5Cpi4%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Csqrt2%7D%7B%5Cpi%7D+ "\displaystyle\lim_{h\to0}\frac1h\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi4+h}\frac{\sin x}x\,dx=\lim_{{h\to0}\atop{\xi\in\left[\frac\pi4,\frac\pi4+h\right]}}\frac1h\frac{\sin\xi}\xi\cdot h=\lim_{\xi\to\frac\pi4}\frac{\sin\xi}\xi=\frac{\sin\frac\pi4}{\frac\pi4}=\frac{2\sqrt2}{\pi}")