Помогите с разложением матрицы

Нужно найти разложение в виде
$\begin{pmatrix}1&1&1\\2&9&3\\5&12&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0&0\\a&1&0\\b&c&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u&v&w\\0&x&y\\0&0&z\end{pmatrix}=\\\phantom{iiiiiiiii}=\begin{pmatrix}u&v&w\\au&av+x&aw+y\\bu&bv+cx&bw+cy+z\end{pmatrix}$
Из первой строки находим, что u = v = w = 1, тогда из первого столбца a = 2, b = 5, система уравнений примет вид
$\begin{pmatrix}1&1&1\\2&9&3\\5&12&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2+x&2+y\\5&5+cx&5+cy+z\end{pmatrix}$
Очевидно, x = 7, y = 1. Подставляем:
$\begin{pmatrix}1&1&1\\2&9&3\\5&12&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&9&3\\5&5+7c&5+c+z\end{pmatrix}$
Из равенства вторых элементов третьей строки c = 1, тогда z = -4. Окончательный вид разложения:
$\begin{pmatrix}1&1&1\\2&9&3\\5&12&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &0&0\\2&1&0\\5&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1&1\\0&7&1\\0&0&-4\end{pmatrix}$