Пусть имеем треугольник АВС и вневписанные окружности ra = 3, rb = 5, rc = 4.
Впишем в треугольник окружность с радиусом r.
Точки касания этой окружности стороны АС и rа к её продолжению соответственно В1 и В2.
Находим радиус вписанной окружности в треугольник АВС по известным радиусам вневписанных окружностей.
.
(1/r) = (1/3) + (1/4) + (1/5) = 47/60.
Получаем радиус вписанной окружности r = 60/47.
Центры окружностей О и О1 лежат на биссектрисе угла А.
Используем свойства вписанной и вневписанной окружностей.
Квадрат полупериметра р треугольника АВС равен:
р² = ra*rb + rb*rc + rc*ra = 3*5 + 5*4 + 4*3 = 47.
Отсюда р = √47.
Тогда площадь S треугольника АВС равна: S = rp = 3√47 ≈ 8,75189949.
Применим свойства: отрезок АВ2 = р, отрезок АВ1 = р - а.
Из подобия треугольников выводим пропорцию: r/АВ1 = rа/АВ2. Подставим значения: r/(р - а) = rа/р, или rр = rа(р - а).
Раскроем скобки и выделим а: а = р - (рr/rа) = (р(rа - r)/rа.
По аналогичным формулам находим стороны b и с.
Подставив значения, получаем:
а = 3,93835477b = 5,105274702 c =4,667679728
.
Делаем проверку правильности найденных значений.
По формуле Герона S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)).
Подставив значения, находим S = 8,75190051
. что соответствует уже найденному значению.
Вторая проверка: по теореме косинусов угол А равен 47,26788996°.
С другой стороны А = 2arctg(ra/p) = 2arctg(3/√47) = 47,26788996
° верно.
