Integral 1+sinx/(1+cosx+sinx). помогите

Здесь надо воспользоваться универсальной тригонометрической подстановкой:

$\int\limits {\frac{1+sinx}{1+cosx+sinx}} \, dx =\begin{vmatrix}tg\frac{x}{2}=t; \ \ sinx=\frac{2t}{1+t^2}\\ \\ cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}; \ dx=\frac{2dt} {1+t^2}\end{vmatrix}=\int\limits {\frac{1+\frac{2t}{1+t^2}}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}+\frac{2t}{1+t^2}}} *\frac{2dt} {1+t^2} = \\\\ \\ =2\int\limits {\frac{1+\frac{2t} {1+t^2}}{1+t^2+1-t^2+2t}} \, dt= 2\int\limits {\frac{\frac{1+t^2+2t} {1+t^2}}{2+2t}} \, dt= 2\int\limits {\frac{t^2+2t+1}{2(t+1)(t^2+1)}} \, dx =$

$\int\limits {\frac{(t+1)^2}{(t+1)(t^2+1)}} dt = \int\limits {\frac{t+1}{t^2+1}} dt =\int\limits {\frac{t}{t^2+1}} dt +\int\limits {\frac{1}{t^2+1}} dt =\frac{1}{2}\int\limits {\frac{1}{t^2+1}} d(t^2+1) + \\ \\ +arctgt+C=\frac{1}{2} \ln |t^2+1|+arctgt+C =\begin{vmatrix}t=tg\frac{x}{2} \end{vmatrix}=\\ \\ = \frac{1}{2} \ln |tg^2(\frac{x}{2})+1|+\frac{x}{2} +C$

Можно так ответ и оставить, а можно еще немного упростить:

$\frac{1}{2} \ln |tg^2(\frac{x}{2})+1|+\frac{x}{2} +C = \frac{1}{2} \ln |\frac{1}{cos^2(\frac{x}{2})}|+\frac{x}{2} +C =\\ \\ =\frac{1}{2} \ln |cos^{-2}(\frac{x}{2})|+\frac{x}{2} +C =\frac{x}{2} - \ln|cos\frac{x}{2} |+C\\ \\ OTBET: \ \frac{x}{2} - \ln|cos\frac{x}{2} |+C$