При каких x числа 2, x-2, , взятые в указанном порядке, являются тремя последовательными...

Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии. Решим соответствующее уравнение.

$\frac{2+\sqrt{x+11}}{2}=x-2\\ 2+\sqrt{x+11}=2x-4\\ \sqrt{x+11}=2x-6$
ОДЗ: x ≥ 3
Возведем в квадрат обе части ур-я.
$x+11=4x^2-24x+36\\4x^2-25x+25=0$
D = 25² - 4*4*25 = 25(25 - 16) = 5² * 3² = 15²
$x_1 = \frac{25+15}{8}=5$
$x_2 = \frac{25-15}{8}=1,25$ ∉ ОДЗ

Ответ: 5