Доказать, что если для значения аргумента образуют арифметическую прогрессию, то...

По определению арифметической прогрессии:

$x_{n+1} = x_{n} + d \\$

Значит,

$f(x_{n+1}) = f(x_{n} + d) \\ a^{x_{n+1}} = a^{x_n + d} \\ a^{x_{n+1}} = a^{x_n} \times a^d \\$

Из определения геометрической прогрессии (каждый следующий член больше предыдущего в q раз) следует, что, значения функции образуют геом. прогрессию со знаменателем $a^d$ .