Решите систему уравнений: x^2+y^2=2 xy=1

Question

Решите систему уравнений:
x^2+y^2=2
xy=1

Comments

||x и y ОДНОГО знака, т.к. xy =1 > 0|| { x²+ y² =2; x²y²=1. || x² и y² корни квадратного уравнения t²-2t +1 =0 (Виет)⇔(t-1)²=0⇒ t=1 , { x²=1 ;y²=1.

Answer 1

x²+y²=2  и xy=1;

x²+ 2xy + y² = 2  + 2xy и xy=1;

(x + y)² = 2  + 2xy и xy=1;

(x + y)² = 2  + 2 и xy=1;

(x + y)² = 4 и xy=1;

1) x + y = 2 и  xy=1;          или            2) x + y = -2 и ху = 1;

x₁ = 1 и  y₁=1;                                            x₂ = -1 и у₂ = -1;

(1; 1)                                                             (-1; -1)

Ответ: (1; 1), (-1;-1).

Comments

Пока писали уже сама решила, но все равно спасибо)))

---

x² - 2xy + y² = 2 - 2*1 ⇔ (x -y)² = 0 ⇒ x = y

Answer 2

{х²+у²=2
{ху=1

х²+у²+2ху-2ху=2
(х+у)²-2=2
(х+у)²=2²

х+у=±2

1){х+у=2
{ху=1
х=2-у
(2-у)*у=1
-у²+2у-1=0
у²-2у+1=0
(у-1)²=0
у-1=0;у=1;х=2-у=2-1=1

ответ (1;1)

2){х+у=-2
{ху=1
х=-2-у
(-2-у)*у=1
-2у-у²-1=0
у²+2у+1=0
(у+1)²=0
у+1=0
у=-1
х=-2-у=-2+1=-1
ответ (-1;-1)

итого (1;1);(-1;-1)

Comments

|| можно даже y =1/x|| x²+ (1/x)² =2⇔( x² -1)² =0