Решить ЕГЭ задание. //////////////////////////
Находим производную, затем стационарную точку, затем ординату. Классика.
Доказывать, что эта стационарная точка и есть точка максимума не обязательно, ведь других точек нет, так что в связи с условием задания это очевидно.
Решение на фотографии
![\tt y=\sqrt[3]{\tt 6x-x^2-1}+3=(6x-x^2-1)^{\frac{1}{3}}+3 \\ \\ y'=\dfrac{1}{3}\cdot (6x-x^2-1)^{-\frac{2}{3} } \cdot(6-2x)=\dfrac{6-2x}{3\sqrt[3]{\tt(6x-x^2-1)^2} } \\ \\ y'=0 \ \Rightarrow \ 6-2x=0 \ \Rightarrow \ x=3](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctt%20y%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Ctt%206x-x%5E2-1%7D%2B3%3D%286x-x%5E2-1%29%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%7D%2B3%20%5C%5C%20%5C%5C%20y%27%3D%5Cdfrac%7B1%7D%7B3%7D%5Ccdot%20%286x-x%5E2-1%29%5E%7B-%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D%20%7D%20%5Ccdot%286-2x%29%3D%5Cdfrac%7B6-2x%7D%7B3%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Ctt%286x-x%5E2-1%29%5E2%7D%20%7D%20%5C%5C%20%5C%5C%20y%27%3D0%20%5C%20%5CRightarrow%20%5C%206-2x%3D0%20%5C%20%5CRightarrow%20%5C%20x%3D3 "\tt y=\sqrt[3]{\tt 6x-x^2-1}+3=(6x-x^2-1)^{\frac{1}{3}}+3 \\ \\ y'=\dfrac{1}{3}\cdot (6x-x^2-1)^{-\frac{2}{3} } \cdot(6-2x)=\dfrac{6-2x}{3\sqrt[3]{\tt(6x-x^2-1)^2} } \\ \\ y'=0 \ \Rightarrow \ 6-2x=0 \ \Rightarrow \ x=3")
![\tt y(3)=\sqrt[3]{\tt 18-9-1}+3=\sqrt[3]{\tt 8} +3=2+3=5](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctt%20y%283%29%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Ctt%2018-9-1%7D%2B3%3D%5Csqrt%5B3%5D%7B%5Ctt%208%7D%20%2B3%3D2%2B3%3D5 "\tt y(3)=\sqrt[3]{\tt 18-9-1}+3=\sqrt[3]{\tt 8} +3=2+3=5")