Рекуррентная последовательность

Для начала поймем, как себя ведет последовательность.
1. Если $0<x_n<1$ , то x_n\cdot1=x_n" alt=" x_{n+1}=x_n(2-x_n)>x_n\cdot1=x_n" align="absmiddle" class="latex-formula">
2. Для любых $x_n$ справедливо $x_n(2-x_n)=1-(x_n^2-2x_n+1)=1-(x_n-1)^2\leqslant1$
Итак, последовательность возрастает и ограничена, тогда она сходится. Обозначим искомый предел через x. Тогда, переходя к пределу в рекуррентном соотношении, получаем уравнение на х:
$x=x(2-x)\\ 2-x=1\\ x=1$
В процессе решения уравнения было учтено, что x>1/2, поэтому можно безбоязненно сокращать на x.

Предел последовательности равен 1.