Необязательно решать неравенство, чтобы ответить на вопрос задачи.
Преобразуем неравенство к виду:
0" alt="(7^{x+3}-7^{2x+2})+(2^{x+3}-2^{2x+5})>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
Когда неравенство выполнится? Когда два слагаемых будут точно положительны, а это происходит, если вычитаемое в каждой скобке меньше соответствующего уменьшаемого. То есть справедлива следующая система неравенств:
7^{2x+2}} \atop {2^{x+3}>2^{2x+5}}} \right.\\\left \{ {{x+3>2x+2} \atop {x+3>2x+5}} \right.\Leftrightarrow x+3>2x+5 \Rightarrow x<-2" alt="\left \{ {{7^{x+3}>7^{2x+2}} \atop {2^{x+3}>2^{2x+5}}} \right.\\\left \{ {{x+3>2x+2} \atop {x+3>2x+5}} \right.\Leftrightarrow x+3>2x+5 \Rightarrow x<-2" align="absmiddle" class="latex-formula">
Значит, все x ∈ [-5; -2) нам точно подходят.
Теперь рассмотрим случай, когда неравенство точно не выполнится. Это случай, противоположный первому.
1" alt="\left \{ {{x+3<2x+2} \atop {x+3<2x+5}} \right. \Leftrightarrow x+3<2x+2 \Rightarrow x>1" align="absmiddle" class="latex-formula">
Значит, все x ∈ (1; 5] нам точно не подходят.
Остаётся перебрать оставшиеся x: -2; -1; 0; 1.
При x = -2 получаем 
0" alt="(7^1-7^{-2})+(2^1-2^1)>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
При x = -1 
0" alt="(7^2-7^0)+(2^2-2^3)=48-4>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
При x = 0 
0" alt="(7^3-7^2)+(2^3-2^5)=294-24>0" align="absmiddle" class="latex-formula">
При x = 1 
- не удовлетворяет условию
Следовательно, нужные нам x: -5, -4, -3, -2, -1, 0. Их сумма равна -15.
Ответ: -15