task/29741557 9 - ый номер √(x² - 9) / (2x -7) ≤ √(x-3) .
решение ОДЗ : { x²- 9 ≥0 ; x-3 ≥0 ; 2x -7 ≠0.⇔{ (x -3)(x+3) ≥0 ; x-3 ≥0 ; x ≠3,5. ⇔ { x ≥ 3 ; x ≠3,5 . ≡ x ∈ [ 3 ; 3,5) ∪ (3,5 ; ∞) .
В ОДЗ данное неравенство равносильно √(x -3)*√(x+3) / (2x -7) ≤ √(x-3) ; очевидно, x = 3 решение неравенства , a для x >3 разделим на √(x-3) >0 , получаем √(x+3) / (2x -7) < 1 . Остается решить это. Умножаем на двучлен (2x - 7) , разумеется, при его отрицательных значениях ,т.е. при x< 3,5 , изменить еще и знак неравенства.
a) { x ∈ [ 3 ; 3,5) ; √(x+3) >2x -7 . || если 3 < x < 3,5 ⇒ 2x -7 < 0 || 2*3 < 2x <2*3,5 ⇔ 2*3 - 7 < 2x -7 < 2*3,5 - 7 </em> ⇔ - 1 < 2x -7 < 0
нерав. √(x+3) >2x -7 верно для всех x ∈ ( 3 ; 3,5) ,т.к.√(x+3) > 0, a 2x -7 < 0.
б) { x ∈ (3,5 ; ∞) ; √(x+3) < 2x -7 . * * * если x > 3,5 ⇒ 2x -7 >0 * * *
√(x+3) < 2x -7 ⇔ x+3 < (2x - 7)² ⇔ x+3 < 4x² -28x+49 ⇔ 4x² -29x +46 > 0 D=29² -4*4*46 =841 -736 =105 ; x₁=(29 -√105) / 8 ≈ 2,3 < 3,5; x₂=(29 +√105)/8 ≈ 4,9 >3,5 || x ∈ (- ∞ ; x₁ ) ∪ (x₂ ; ∞) ≡ x ∈( 29 -√105) /8 ) ∪ ( 29 +√105) /8 ; ∞ ) учитывая x ∈ (3,5 ; ∞) , получится x ∈ ( 29 +√105) /8 ; ∞ ) ||
ответ: x∈ [ 3 ; 3, 5) ∪ ( 29 +√105) / 8 ; ∞ ) .
* * * [3 ; 3, 5) объединение {3} и (3 ; 3, 5) * * *