Упростить и вычислить.

$\frac{( {cos( \alpha - \pi))}^{4} }{( {cos( \alpha - \frac{3\pi}{2} ))}^{4} + ({sin( \alpha + \frac{3\pi}{2} ))}^{4} - 1} + \frac{1}{2} ( {(ctg \alpha )}^{2} + 2) \\$

• Преобразуем выражение с помощью формул приведения, также применив к этому некоторые тригонометрические формулы:

$\frac{ ({cos \alpha) }^{4} }{ ({sin \alpha) }^{4} + {(cos \alpha )}^{4} - 1} + \frac{1}{2} ( {(ctg \alpha )}^{2} + 2) \\$

$({sin \alpha) }^{4} + {(cos \alpha )}^{4} = { (({sin\alpha)}^{2} )}^{2} + {( {(cos\alpha)}^{2}) }^{2} = \\ = { (\frac{1 - cos2 \alpha }{2} )}^{2} + { (\frac{1 + cos2 \alpha }{2} )}^{2} = \frac{1 + {(cos2 \alpha) }^{2} }{2} \\ \\ \frac{1 + {(cos2 \alpha) }^{2} }{2} - 1 = \frac{ ({cos2 \alpha) }^{2} - 1 }{2} = \frac{ - {(sin2 \alpha )}^{2} }{2} \\$

• Подставляем в начальное выражение:

$\frac{ {(cos \alpha )}^{4} }{ \frac{ - {(sin2 \alpha )}^{2} }{2} } + \frac{ {(ctg\alpha)}^{2} }{2} + 1 = - \frac{2 {(cos \alpha )}^{4} }{ {(sin2 \alpha )}^{2} } + \frac{ {(ctg\alpha)}^{2} }{2} + 1 = \\ = - \frac{2 {(cos \alpha )}^{4} }{4 {(sin \alpha )}^{2} {(cos \alpha )}^{2} } + \frac{ {(ctg\alpha)}^{2} }{2} + 1 = \\ = - \frac{ {(cos \alpha )}^{2} }{2 {(sin \alpha )}^{2} } + \frac{ {(ctg\alpha)}^{2} }{2} + 1 = - \frac{ {(ctg \alpha )}^{2} }{2} + \frac{ {(ctg\alpha)}^{2} }{2} + 1 = \\ = 1$

ОТВЕТ: 1