Ответ: 9 способов .
Решение:
Если число делится на 6, то оно делится и на 2, и на 3. Если же число делится на 2, то оно должно заканчиваться на на четную цифру. Если оно делится на 3, то сумма всех его цифр кратна трем. Поэтому наши числа должны заканчиваться на 2 или 4, а также иметь сумму цифр, кратную трем.
Понятно, что среди искомых чисел однозначных нет.
Выпишем все двузначные числа, заканчивающиеся на 2 и 4 и составленные из цифр 1, 2, 3, 4, где каждая цифры используется не более одного раза:
12, 32, 42, 14, 24, 34.
Из них нам подходят только три числа (12, 42, 24).
Продолжим поиск среди трехзначные чисел и запишем все возможные наборы чисел (порядок пока не учитывается), в которых присутствует хотя бы одно из чисел 2 и 4 и каждое не используется более одного раза:
{1, 2, 3} и {2, 3, 4}.
Из первого набора имеем кратные 6 числа:
132, 312.
Из второго:
342, 432, 234, 324.
Среди таких чисел четырехзначных тоже нет. Если бы такие существоали, то они бы все существовали из цифр 1, 2, 3, 4 в произвольном порядке и не делились бы на 3, так как
1 + 2 + 3 + 4 = 10, а 10 на 3 не делится.
Задача решена! Мы получили, что таких чисел всего 9:
12, 24, 42, 132, 234, 312, 324, 342, 432.