Основания пирамиды прямоугольника со сторонами 10 см и 18 см, высота пирамиды проходит...

0 голосов
51 просмотров

Основания пирамиды прямоугольника со сторонами 10 см и 18 см, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагонали и равна 12 см. Найти площадь поверхности

Геометрия (12 баллов) | 51 просмотров
Дан 1 ответ
0 голосов

Пусть SABCD - четырёхугольная пирамида, в основании которой - прямоугольник ABCD со сторонами AD = BC = 18 см и CD = AB = 10 см. Точка O - точка пересечения диагоналей прямоугольника ABCD. SO = 12 см - высота пирамиды SABCD.

Найти: S_{_{\Pi}} - ?

Решение. Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

S_{_{\Pi}} = S_{_{\text{B}}} + S_{_{\text{O}}}, где S_{_{\text{B}}} - площадь боковой поверхности, S_{_{\text{O}}} = AD \ \cdotp CD = 18 \ \cdotp 10 = 180 см² - площадь основания.

SO \bot (ABCD) \Rightarrow SO \bot OK, OK - проекция SK на плоскость (ABCD) \Rightarrow \Delta SOK - прямоугольный.

Аналогично, \Delta SOM - прямоугольный.

OK = \dfrac{AD}{2} = \dfrac{18}{2} = 9 см.

Из \Delta SOK (\angle SOK = 90^{\circ}): по теореме Пифагора

SK = \sqrt{SO^{2} + OK^{2}} = \sqrt{12^{2} + 9^{2}} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 см.

OM = \dfrac{CD}{2} = \dfrac{10}{2} = 5 см.

S_{_{\Delta CSD}} = S_{_{\Delta BSA}} = \dfrac{1}{2} \ \cdotp SK \ \cdotp CD = \dfrac{1}{2} \ \cdotp 15 \ \cdotp 10 = 75 см²

Из \Delta SOM (\angle SOM = 90^{\circ}): по теореме Пифагора

SM = \sqrt{SO^{2} + OM^{2}} = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 см.

S_{_{\Delta ASD}} = S_{_{\Delta BSC}} = \dfrac{1}{2} \ \cdotp SM \ \cdotp AD = \dfrac{1}{2} \ \cdotp 13 \ \cdotp 18 = 117 см²

S_{_{\text{B}}} = 2S_{_{\Delta CSD}} + 2S_{_{\Delta ASD}} = 2 \ \cdotp 75 + 2 \ \cdotp 117 = 384 см².

S_{_{\Pi}} = S_{_{\text{B}}} + S_{_{\text{O}}} = 384 + 180 = 564 см².

Ответ: 564 см².

image
(654k баллов)
Похожие задачи