Найдите область значения функцииF(x)=(4x+4)/(x^2+2x+2)

$f(x) = \frac{4x + 4}{ {x}^{2} + 2x + 2 } = \frac{4 {(x + 1)} }{ {(x + 1)}^{2} + 1}$
${(x + 1)}^{2} + 1 ≠ 0$
так как первое слагаемое ≥0, а 1>0, поэтому равенство не достижимо
поэтому область определения
$D_{f(x)}: x∈R \\$

но нам нужно найти область значений

f(t) = \frac{4t}{1 + {t}^{2} } " alt="f(x) = \frac{4 {(x + 1)} }{ {(x + 1)}^{2} + 1} \\ = > f(t) = \frac{4t}{1 + {t}^{2} } " align="absmiddle" class="latex-formula">
$f'(t) =( \frac{4t}{1 + {t}^{2} } )' = \frac{4(1 + {t}^{2} ) -8 {t}^{2} }{(1 + {t}^{2}) ^{2} } = \\ = \frac{ - 4 {t}^{2} + 4 }{(1 + {t}^{2}) ^{2}} = - 4 \frac{ {t}^{2} - 1}{(1 + {t}^{2}) ^{2}}$

t=±1 \\ \\fmax = f(1)=2 \\ fmin = f(-1)=-2 \\ " alt="f'(t)=0 => t=±1 \\ \\fmax = f(1)=2 \\ fmin = f(-1)=-2 \\ " align="absmiddle" class="latex-formula">

Поэтому требуемая
область значений функции

$E_{ f(y)}=[-2;2] \\$