task/29967677 Сколько корней уравнения sin2x -1 =2sinx -cosx не принадлежит множеству ( -∞ ; -2π) ∪ [ 0 ; π) ∪ (2π; +∞) .
решение по другому, выяснить сколько корней данного уравнения принадлежит множеству [ -2π ; 0 ) ∪ [ π; 2π ] .
sin2x -1 =2sinx - cosx ⇔2sinxcosx - 2sinx + cosx - 1 =0 ⇔
2sinx(cosx -1) +(cosx -1) = 0⇔(cosx -1)(2sinx +1) =0⇔[cosx=1 ; sinx = -1/2⇔
[ x =2πn ; x = (-1)ⁿ⁺¹(π/6) + πn , n ∈ ℤ
а) x =2πn ⇒ корни x₁ = - 2π (при n = -1) и x₂ = 2π ∈ [ -2π ; 0 ) ∪ [ π; 2π ]
б) x = (-1)ⁿ⁺¹(π/6) + πn , n ∈ ℤ ⇔ (разделяем)
б₁) x = - π/6 + 2kπ , при n =2k (n_четное)
x₃ = - π/6 (при k=0) , x₄ =11π/6 (при k=1) или б₂) x = π/6 + (2k+1)π , при n=2k+1 (n_четное) // (π+ π/6)+ 2πk //
x₅ = - 5π/6 (при k= -1) , x₆ = 7π/6 (при k=0)
ответ: 6 корней .
P.S. * * * {- 2π ; - 5π/6 ; - π/6 ; 11π/6 ; 7π/6 ; 2π } * * *