Основанием правильной треугольной пирамиды MABC служит треугольник ABC со стороной 6....

Question

Основанием правильной треугольной пирамиды MABC служит треугольник ABC со стороной 6. Ребро MA перпендикулярно грани MBC. Через вершину пирамиды M и серeдины рёбер AC и BC проведена плоскость α. а ) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью α является равносторонним треугольником. б) Найдите расстояние от вершины C до плоскости α.

Answer 1

a) Пусть Середины ребер AC и BC - Соответственно D и E .

DE - очевидно 3 , поэтому надо доказать что апофемы пирамиды MD и ME тоже равны трем.

Рассмотрим треугольник AME . Он по условию прямоугольный с прямым углом M ( MA перпендикулярно MBC )

Высота MO Проецируется в центр основания ABC ( пирамида правильная  )

AE = 6√3/2 = 3√3

AO=2√3

EO = √3

пусть высота MO - h

тогда по теореме Пифагора

h^2+(√3)^2+h^2+(2√3)^2=(3√3)^2

Откуда h=√6

ME^2 = h^2+3

ME=3

Доказано.

б) Пусть С - начало координат

Ось X - CA

Ось Y  - перпендикулярно X в сторону B

Ось Z - перпендикулярно ABC в сторону M

Координаты Точек

D(3;0;0)

E(3/2;3√3/2;0)

M(3;√3;√6)

Уравнение плоскости DEM

ax+by+cz+d=0 подставляем координаты точек

3a+d=0

3a/2+3√3b/2+d=0

3a+√3b+√6c+d=0

Пусть d= -6 Тогда a=2 b=2/√3 c= - 2/√6

2x+ 2y/√3 - 2z/√6 - 6 =0

k=√ (4+4/3+4/6) = √6

Нормализованное уравнение

2x/√6+ 2y/(√3√6) - 2z/(√6√6) - 6/√6 =0

Расстояние от С (начала координат)   до Плоскости DEM Равно

6/√6 = √6

Comments

Можно узнать подробнее про нахождение АЕ?

---

Просто по условию Е-середина стороны АС. И почему тогда АЕ не равняется 3?

---

Е я обозначил середина ВС -

---

Середина АС - точка D

---

как вы нашли к?

---

Корень квадратный из суммы квадратов коэффициентов при x y z

---

а после нормализованного уравнения как вы пришли к такому результату? я вообще не понимаю...

---

Подставляем координаты точки в нормализованное уравнение плоскости - так как точка у нас начало координат (0;0;0) - только свободный член и остается.

---

Я писал решение автору задания Пельменю - а он уж теперь то )) в векторном методе спец )) - поэтому такие вещи опускал . Но у меня очень много подобных задач в решениях по геометрии с более подробными объяснениями - можно посмотреть ...

---

На самом деле векторный метод сильно экономит время на ЕГЭ . А время там главное. Больше 15 минут на 14 задание не должно уходить при должной сноровке и по единому накатанному методу. И всего шесть формул то запомнить нужно ))