Нужна помощь Основанием четырёхугольной пирамиды является ромб с острым углом α и меньшей...

Question

Дан 1 ответ

_zn · Answer 1 · 2020-05-19T10:35:00+0000

Пусть $SABCD$ — четырёхугольная пирамида, в основании которой ромб $ABCD.$ Меньшая диагональ ромба $BD = a$ и острый угол $\angle BAD = \alpha.$ $\ SO$ высота пирамиды, значит, $SO \bot (ABCD)$ , следовательно $SO \bot OK,$ так как $OK \in (ABCD),$ $\ OK$ — проекция $SK$ на плоскость $(ABCD),$ $\ OK \bot CD$ ⇒ по теореме о трёх перпендикуляров (ТТП) $SK \bot CD$ , следовательно, $\angle SKO = \beta$ — линейный угол двугранного угла при ребре $CD;$ так как все двугранные углы при основании равны, то точка О — центр вписанной окружности, то есть $OK = r.$

Найти: $1) \ S_{_{\Pi}} - ? \ 2) \ SO - ?$

Решение. Ромб $ABCD$ состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников: $\triangle AOD = \triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD.$

Рассмотрим $\triangle AOD (\angle AOD = 90^{\circ}):$

$OD = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{a}{2}$

$\angle OAD = \dfrac{\angle BAD}{2} = \dfrac{\alpha}{2}$

$\text{sin} \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{OD}{AD} \Rightarrow AD = \dfrac{OD}{\text{sin} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}$

$\text{tg} \dfrac{\alpha}{2} = \dfrac{OD}{AO} \Rightarrow AO = \dfrac{OD}{\text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a}{2 \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}}$

Значит, диагональ $AC = 2AO = \dfrac{2a}{2 \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a}{\text{tg} \dfrac{\alpha}{2}}$

Рассмотрим $\triangle COD (\angle COD = 90^{\circ}):$

$r = OK = \dfrac{CO \ \cdotp OD}{CD} = \dfrac{\dfrac{a}{2 \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} \ \cdotp \dfrac{a}{2}}{\dfrac{a}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}} = \dfrac{a^{2} \ \cdotp 2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}{4a \ \text{tg} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a \ \text{cos} \dfrac{ \alpha}{2}}{2}$

Высота ромба $BM = 2OK = \dfrac{2a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2} }{2} = a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2}$

Площадь основания пирамиды $S_{_{\text{O}}} = BO \ \cdotp CD = a \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2} \ \cdotp \dfrac{a}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}} = \dfrac{a^{2} \ \text{cos} \dfrac{\alpha}{2}}{2 \text{sin} \dfrac{\alpha}{2}}} = \dfrac{a^{2} \ \text{ctg} \dfrac{\alpha}{2}}{2}$