Расположите в порядке возрастания числа tg 10; sin 10; cos 10; ctg 10

Question

Дан 1 ответ

Правильный ответ

Возьмем приближенно $\pi \approx3.14$

Рассмотрим число $10$ . На числовой окружности этому числу соответствует та же точка, что и числу $10-2\pi$ :

$10-2\pi\approx10-2\cdot3.14=3.72$

Зная, что $\pi \approx3.14$ и $\dfrac{3\pi}{2} \approx4.71$ , получаем, что число $3.72$ располагается в 3 четверти. Значит, можно сказать о знаках тригонометрических функций: косинус и синус - отрицательный, тангенс и котангенс - положительный. Остается сравнить между собой данные две пары.

Заметим, что число $3.72$ располагается ближе к числу $\pi$ , так как $|3.72-\pi|<\left|\dfrac{3\pi}{2}-3.72\right|$ .

Зарисуем схематично число в 3 четверти, расположенное ближе к числу $\pi$ . По рисунку определим, что косинус такого числа (координата х) меньше синуса (координата y):

$\cos10<\sin10<0$

Рассмотрим тангенс. Так как тангенс положительный, то заменим отношение синуса к косинусу отношением их модулей:

$\mathrm{tg}10=\dfrac{\sin10}{\cos10} =\dfrac{|\sin10|}{|\cos10|}$

Зная, что $\cos10<\sin10<0$ , получим, что |\sin10|" alt="|\cos10|>|\sin10|" align="absmiddle" class="latex-formula">, соответственно дробь $\dfrac{|\sin10|}{|\cos10|}$ правильная, значит $\mathrm{tg}10<1$ . Тогда, так как котангенс есть величина, обратная тангенсу, то 1" alt="\mathrm{ctg}10>1" align="absmiddle" class="latex-formula">.

$0<\mathrm{tg}10<1<\mathrm{ctg}10$

Итоговая цепочка: $\cos10<\sin10<\mathrm{tg}10<\mathrm{ctg}10$

Artem112_zn (271k баллов) 20 Май, 20