Задание 19. Дана правильная треугольная пирамида.
Боковое ребро равно b и наклонено к плоскости основания под углом α.
Найти: площадь основания и боковой поверхности.
Проекция бокового ребра b на основание правильной треугольной пирамиды равна (2/3) высоты основания h, а проекция апофемы - (1/3) высоты основания h.
(2/3)h = bcosα,
h = 3bcosα/2.
Отсюда находим сторону основания а:
а = h/cos30° = (3bcosα/2)/(√3/2) = bcosα√3.
Периметр основания Р = 3а = 3√3bcosα.
Высота пирамиды Н = bsinα.
Апофема А равна:
А = √(Н² + ((1/3)h)²) = √(b²sin²α + (b²cos²α/4)) = (b/2)√(4sin²α + cos²α).
Теперь можно перейти к ответам.
Площадь основания So = a²√3/4 = (bcosα√3)²*(√3/4) = (3√3b²cosα)/4.
Площадь боковой поверхности равна:
Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(3√3bcosα)*((b/2)√(4sin²α + cos²α)) =
= (3√3b²cosα)*√(4sin²α + cos²α))/4.