Данную функцию Z=F(x,y) исслег ** экстремум. Z=2x^3+2y^3-36xy+430

Question

Дан 1 ответ

_zn · Answer 1 · 2020-05-20T14:57:57+0000

Находим частные производные:

$z=2x^3+2y^3-36xy+430 \\ \\ z'_x=6x^2-36y \\ z'_y=6y^2-36x$

Приравниваем их к нулю и решаем систему:

$\left\{\begin{matrix} 6x^2-36y=0\ \ |:6 \\ 6y^2-36x=0 \ \ |:6 \end{matrix}\right. \\ \\ \left\{\begin{matrix} x^2-6y=0\ \ \\ y^2-6x=0 \ \ \end{matrix}\right.\\ \\ \left\{\begin{matrix} y=\frac{x^2}{6} \ \\ y^2-6x=0 \ \ \end{matrix}\right. \\ \\ \\ (\frac{x^2}{6})^2-6x=0\\ \\ \frac{x^4}{36} -6x=0 \ \ |*36 \\ \\ x^4-216x=0 \\ \\ x(x^3-216)=0 \\ \\$

$\begin{bmatrix} x_1=0\\ x_2^3-216=0 \end{matrix} \ \ \Leftrightarrow \ \ \begin{bmatrix} x_1=0\\ x_2^3=216 \end{matrix} \ \Leftrightarrow \ \ \begin{bmatrix} x_1=0\\ x_2=6\end{matrix} \\ \\ y=\frac{x^2}{6}\\ \\ \begin{bmatrix} y_1=\frac{0^2}{6} \\ \\ y_2= \frac{6^2}{6} \end{matrix} \ \ \Leftrightarrow \begin{bmatrix}y_1=0\\ y_2=6 \end{matrix}$

Получаем две ВОЗМОЖНЫЕ (критические или стационарные) точки экстремума: M₁(x₁;y₁) и М₂(х₂;у₂)

в данном случае: M₁(0;0) и M₂(6;6)

1) Проверим точку M₁

для этого находим вторые частные производные функции и подставляем координаты нашей точки:

$A=z''_{xx}=12x; \ \ z''_{xx}(0;0)=0 \\ \\ B=z''_{xy}=z''_{yx}=-36; \\ \\ C=z''_{yy}=12y; \ z''_{yy}(0;0)=0$

AC-B²=0*0-(-36)²=-36<0 - следовательно экстремума в точке М₁ нет</p>

2) Проверим точку М₂

$A=z''_{xx}=12x; \ \ z''_{xx}(6;6)=72 \\ \\ B=z''_{xy}=z''_{yx}=-36; \\ \\ C=z''_{yy}=12y; \ z''_{yy}(6;6)=72$

AC-B²=72*72-(-36)²=3888>0 экстремум есть, причем минимум (так как A>0)

Итак, точка минимума М₂(6;6)

Минимум:

$z(M_2)=2*6^3+2*6^3-36*6*6+430=-2$

Ответ: z=-2 - минимум функции

P.S.

Если AC-B²> 0 и A > 0, то М - точка минимума

Если AC-B²> 0 и A < 0, то М - точка максимума

Если AC-B²< 0, то экстремумов нет