Кто знает как доказать? Буду очень благодарна

Question

Дано ответов: 2

Правильный ответ

Докажем с помощью матиндукции

1) при n=2
\sqrt{2} " alt=" \frac{1}{ \sqrt{1} } + \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} + 1}{ \sqrt{2} } > \sqrt{2} " align="absmiddle" class="latex-formula">
действительно,
домножим обе части на
$\sqrt{2}$
2 \\ \sqrt{2} > 1" alt=" \sqrt{2} + 1 > 2 \\ \sqrt{2} > 1" align="absmiddle" class="latex-formula">
это верно

2)пусть теперь
при n=k

\sqrt{k} " alt="1 + \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3} } + ... \frac{1}{ \sqrt{k} } > \sqrt{k} " align="absmiddle" class="latex-formula">

3) докажем тогда, что при n=k+1

\sqrt{k + 1} " alt="1 + \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{k} } + \frac{1}{ \sqrt{k + 1} } > \sqrt{k + 1} " align="absmiddle" class="latex-formula">

действительно
\\ > ( \sqrt{k}) + \frac{1}{ \sqrt{k + 1} } " alt="(1 + \frac{1}{ \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{3} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{k} } )+ \frac{1}{ \sqrt{k + 1} } > \\ > ( \sqrt{k}) + \frac{1}{ \sqrt{k + 1} } " align="absmiddle" class="latex-formula">
нам нужно по сути доказать
неравенство
\sqrt{k + 1} \\ \\ " alt=" ( \sqrt{k}) + \frac{1}{ \sqrt{k + 1} } > \sqrt{k + 1} \\ \\ " align="absmiddle" class="latex-formula">

а оно справедливо, так как, домножив его на
0" alt=" \sqrt{k + 1} > 0" align="absmiddle" class="latex-formula">

получим
k + 1 \\ \sqrt{k(k + 1)} > k \\ \sqrt{k(k + 1)} > \sqrt{ {k}^{2} } \\ \sqrt{k + 1} > \sqrt{k} " alt="\sqrt{k(k + 1)} + 1 > k + 1 \\ \sqrt{k(k + 1)} > k \\ \sqrt{k(k + 1)} > \sqrt{ {k}^{2} } \\ \sqrt{k + 1} > \sqrt{k} " align="absmiddle" class="latex-formula">
это неравенство справедливо
для любых натуральных k≥2

поэтому мы доказали наше неравенство
при n=k+1
в предположении, что при n=k оно верно и проверили его при n=2

поэтому неравенство справедливо
для любых натуральных n≥2

spasibo3pajbrh_zn (25.0k баллов) 21 Май, 20

yugolovin_zn · Answer 1 · 2020-05-20T21:32:53+0000

Доказательство проведем с помощью метода математической индукции. При n=2 неравенство принимает вид \sqrt{2}\Leftrightarrow 1>\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow 1>\frac{2-1}{\sqrt{2}};\ 1>\frac{1}{\sqrt{2}}" alt="1+\frac{1}{\sqrt{2}}>\sqrt{2}\Leftrightarrow 1>\sqrt{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow 1>\frac{2-1}{\sqrt{2}};\ 1>\frac{1}{\sqrt{2}}" align="absmiddle" class="latex-formula"> - верно. Пусть неравенство справедливо при n=k, то есть \sqrt{k};" alt="1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{k}}>\sqrt{k};" align="absmiddle" class="latex-formula"> докажем, что тогда оно справедливо и при n=k+1, то есть что \sqrt{k+1}." alt="1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots + \frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}." align="absmiddle" class="latex-formula">

По предположению индукции \sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}" alt="(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\ldots +\frac{1}{\sqrt{k}})+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}" align="absmiddle" class="latex-formula">.

Если мы докажем, что \sqrt{k+1}," alt="\sqrt{k}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}," align="absmiddle" class="latex-formula"> наша цель будет достигнута. Таким образом, достаточно доказать, что \sqrt{k+1}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\Leftrightarrow \sqrt{k}>\frac{k}{\sqrt{k+1}}\Leftrightarrow \sqrt{k+1}>\sqrt{k}," alt="\sqrt{k}>\sqrt{k+1}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}\Leftrightarrow \sqrt{k}>\frac{k}{\sqrt{k+1}}\Leftrightarrow \sqrt{k+1}>\sqrt{k}," align="absmiddle" class="latex-formula"> что очевидно. На этом доказательство методом математической индукции завершено.