Найдите все значения параметра к, при которых неравенство выполняется при всех значениях...

Выделяем полный квадрат:
$- x^{2} + 2(k-1)x - 3k + 3 = -(x^2-2(k-1)x+(k-1)^2)+\\+(k-1)^2-3k+3=-(x-k+1)^2+(k^2-5k+4)$

Для того, чтобы выражение всегда оставалось отрицательным, необходимо и достаточно, чтобы отрицательным было второе слагаемое (т.к. квадрат неотрицателен).
$k^2-5k+4<0\\ (k-1)(k-4)<0\\ \boxed{k\in(1,4)}$