Решите систему неравенств: {2(cos^2x-sin^2x) >=1;sin2x

$\displaystyle \left \{ {{2\cdot (\cos ^2x-\sin ^2x)\ge 1} \atop {\sin 2x<\dfrac{\sqrt{2}}2\qquad \quad \quad }} \right.$

По формуле косинуса двойного угла: cos2a = cos²a - sin²a, получим

$\displaystyle \left \{ {\cos 2x\ge \dfrac12} \atop {\sin 2x<\dfrac{\sqrt{2}}2 }} \right.$

Решим систему на тригонометрическом круге, смотри внизу.

$\displaystyle \frac{-\pi}3 +2\pi n\le 2x< \frac{\pi}4 +2\pi n\; |:2\\\\\frac{-\pi}6 +\pi n\le x<\frac{\pi}8 +\pi n$ $n\in \mathbb{Z}$

Ответ: $\displaystyle x\in \bigg[ \frac{-\pi}6 +\pi n;\frac{\pi}8 +\pi n\bigg) ,n\in \mathbb{Z}$