Помогите решить интеграл

0 голосов
20 просмотров

Помогите решить интеграл


Алгебра (148 баллов) | 20 просмотров
Дано ответов: 2
0 голосов

1/6(-2u^3+3u^2-3u+3log(u+1)-8
3log2-2/6

(644 баллов)
0 голосов

В подынтегральной дроби старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя. Для того чтобы разбить эту дробь, нужно поделить с остатком многочлен в числителе на многочлен в знаменателе. Можно делить столбиком, но в простых случаях легче сделать по другому. Расписывать все буду дьявольски подробно, на самом деле половина этих действий делается в уме:

\frac{-2u^3-u}{-2-2u} =-\frac{1}{2}\left( \frac{2u^3-u}{u+1} \right)=-\frac{1}{2}\left( \frac{2u^2(u+1)-2u^2-u}{u+1} \right)=-\frac{1}{2}\left( \frac{2u^2(u+1)-2u(u+1)+u}{u+1} \right)=\\=-\frac{1}{2}\left( \frac{2u^2(u+1)-2u(u+1)+(u+1)-1}{u+1} \right)=(*)

Теперь почленно делим числитель на знаменатель:

(*)=-\frac{1}{2}\left(2u^2-2u+1- \frac{1}{u+1} \right)

Это выражение уже легко проинтегрировать. Итак:

\displaystyle\int\frac{2u^3-u}{-2-2u} du=-\frac{1}{2}\displaystyle\int\left(2u^2-2u+1- \frac{1}{u+1} \right)du=-\frac{1}{2} \left(\frac{2u^3}{3}-u^2+u+c_1-\displaystyle\int\frac{d(u+1)}{u+1} \right)=-\frac{1}{2}\left(\frac{2u^3}{3}-u^2+u-\ln|u+1|+C \right)

Чтобы проверить правильный ли мы получили ответ, возьмём от него производную:

\frac{d}{du} \left[-\frac{1}{2}\left(\frac{2u^3}{3}-u^2+u-\ln|u+1|+C \right)\right]=-\frac{1}{2}\left(2u^2-2u+1-\frac{1}{u+1} \right)=\\=-\frac{1}{2}\left(\frac{2u^3+2u^2-2u^2-2u+u+1-1}{u+1} \right)=\frac{2u^3-u}{-2-2u}

Всё верно.


(3.9k баллов)