Помогите решить интеграл

Question

Дано ответов: 2

KayKosades_zn · Answer 1 · 2020-05-23T03:15:16+0000

В подынтегральной дроби старшая степень числителя больше старшей степени знаменателя. Для того чтобы разбить эту дробь, нужно поделить с остатком многочлен в числителе на многочлен в знаменателе. Можно делить столбиком, но в простых случаях легче сделать по другому. Расписывать все буду дьявольски подробно, на самом деле половина этих действий делается в уме:

$\frac{-2u^3-u}{-2-2u} =-\frac{1}{2}\left( \frac{2u^3-u}{u+1} \right)=-\frac{1}{2}\left( \frac{2u^2(u+1)-2u^2-u}{u+1} \right)=-\frac{1}{2}\left( \frac{2u^2(u+1)-2u(u+1)+u}{u+1} \right)=\\=-\frac{1}{2}\left( \frac{2u^2(u+1)-2u(u+1)+(u+1)-1}{u+1} \right)=(*)$

Теперь почленно делим числитель на знаменатель:

$(*)=-\frac{1}{2}\left(2u^2-2u+1- \frac{1}{u+1} \right)$

Это выражение уже легко проинтегрировать. Итак:

$\displaystyle\int\frac{2u^3-u}{-2-2u} du=-\frac{1}{2}\displaystyle\int\left(2u^2-2u+1- \frac{1}{u+1} \right)du=-\frac{1}{2} \left(\frac{2u^3}{3}-u^2+u+c_1-\displaystyle\int\frac{d(u+1)}{u+1} \right)=-\frac{1}{2}\left(\frac{2u^3}{3}-u^2+u-\ln|u+1|+C \right)$

Чтобы проверить правильный ли мы получили ответ, возьмём от него производную:

$\frac{d}{du} \left[-\frac{1}{2}\left(\frac{2u^3}{3}-u^2+u-\ln|u+1|+C \right)\right]=-\frac{1}{2}\left(2u^2-2u+1-\frac{1}{u+1} \right)=\\=-\frac{1}{2}\left(\frac{2u^3+2u^2-2u^2-2u+u+1-1}{u+1} \right)=\frac{2u^3-u}{-2-2u}$

Всё верно.