Помогите, пожалуйста, с геометрией (см. вложение)!!!

Question

Дан 1 ответ

_zn · Answer 1 · 2020-05-24T19:29:14+0000

Прямоугольный параллелепипед — это прямая четырёхугольная призма, в основании которой прямоугольник.

Пусть в прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ диагональ $B_{1}D = d$ образует $\angle B_{1}DC_{1} = \alpha$ с боковой плоскостью $(CDD_{1})$ и $\angle B_{1}DB = \beta$ с плоскостью основания $(ABC)$ (см. вложение). Так как параллелепипед прямоугольный, то его основанием является прямоугольник.

Определим объём $V$ этого параллелепипеда.

Объём прямоугольного параллелепипеда определяется по формуле $V = S_{\text{o}}c = abc,$ где $S_{\text{o}} = ab$ — площадь основания ( $a$ и $b$ — стороны прямоугольника), $c$ — высота.

Рассмотрим $\Delta B_{1}BD \ (\angle B_{1}BD = 90^{\circ}):$

$BB_{1} = B_{1}D \ \cdotp \sin \angle B_{1}DB = d \sin \beta$

По свойству прямоугольного (и прямого) параллелепипеда $AA_{1} = BB_{1} = CC_{1} = DD_{1} = d\sin \beta$

Так как у прямоугольного параллелепипеда боковые грани перпендикулярные, то прямые, которые находятся в этих двух плоскостях, будут тоже перпендикулярными (так как $(B_{1}C_{1}C) \bot (C_{1}CD)$ , где $B_{1}C_{1} \in (B_{1}C_{1}C)$ и $C_{1}D \in (C_{1}CD)$ , то $B_{1}C_{1} \bot C_{1}D$ )

Рассмотрим $\Delta B_{1}C_{1}D \ (\angle B_{1}C_{1}D = 90^{\circ}):$

$B_{1}C_{1} = B_{1}D \ \cdotp \sin \angle B_{1}DC_{1} = d\sin \alpha$

По свойству прямоугольного параллелепипеда $AD = A_{1}D_{1} = B_{1}C_{1} = BC = d\sin \alpha$

$C_{1}D = B_{1}D \cos \angle B_{1}DC_{1} = d\cos \alpha$

Рассмотрим $\Delta C_{1}CD \ (\angle C_{1}CD = 90^{\circ}):$

$CD = \sqrt{C_{1}D^{2} - CC_{1}^{2}} = \sqrt{(d\cos \alpha)^{2} - (d\sin \beta)^{2}} = \\ = \sqrt{d^{2}\cos^{2}\alpha - d^{2}\sin^{2}\beta} = \sqrt{d^{2}(\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\beta)} =\\= d\sqrt{\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\beta}$

По свойству прямоугольного параллелепипеда $AB = CD = A_{1}B_{1} = C_{1}D_{1} = d\sqrt{\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\beta}$

Следовательно, $V = AD \ \cdotp CD \ \cdotp DD_{1} = d\sin \alpha \ \cdotp d\sqrt{\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\beta} \ \cdotp d\sin \beta =\\= d^{3}\sin \alpha \sin \beta \sqrt{\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\beta}$

Ответ: $d^{3}\sin \alpha \sin \beta \sqrt{\cos^{2}\alpha - \sin^{2}\beta}$