Решить уравнение:125*2^4x - 9*20^(x+1) + 64*25^x =0

Question

Решить уравнение:125*2^4x - 9*20^(x+1) + 64*25^x =0

Answer 1

125•2⁴ˣ - 9•20ˣ⁺¹ + 64•25ˣ = 0

125•16ˣ - 9•20•20ˣ + 64•25ˣ = 0

Однородное уравнение. Делим обе части на 25ˣ  ⇒

125•( 16ˣ/25ˣ ) - 180•( 20ˣ/25ˣ ) + 64•( 25ˣ/25ˣ ) = 0

125•( 4/5 )²ˣ - 180•( 4/5 )ˣ + 64 = 0

Пусть ( 4/5 )ˣ = а , а > 0 , тогда

125а² - 180а + 64 = 0

D = 180² - 4•125•64 = ( 4•9•5 )² - 4•5•5•5•4•4•4 = 16•25•( 81 - 80 ) = 16•25 = 20²

a₁ = ( 180 - 20 ) / 250 = 160/250 = 16/25

a₂ = ( 180 + 20 ) / 250 = 200/250 = 4/5

Обратна замена:

а₁ = 16/25  ⇒  ( 4/5 )ˣ = 16/25  ⇒  ( 4/5 )ˣ = ( 4/5 )²  ⇒   х = 2

а₂ = 4/5     ⇒   ( 4/5 )ˣ = 4/5     ⇒  ( 4/5 )ˣ = ( 4/5 )¹  ⇒    х = 1

ОТВЕТ: х = 1 ; 2