Найдём ОДЗ логарифмов:
0}\atop{x-3> 0}}\right.~~~~~~~~~~~~\left \{ {{x < 10} \atop {x > 3}} \right. \\\\\\x\in(3; 10)" alt="\tt\displaystyle\left\{{{10-x>0}\atop{x-3> 0}}\right.~~~~~~~~~~~~\left \{ {{x < 10} \atop {x > 3}} \right. \\\\\\x\in(3; 10)" align="absmiddle" class="latex-formula">
Для начала преобразуем каждое из выражений левой части, но сначала кое-что обсудим: мы можем обойтись и без этого вполне. Мы можем по свойству логарифмов преобразования суммы в произведение свести к логарифму по основанию 1/6. Но при раскрытии логарифмов с обеих сторон мы в любом случае сменим знак (так как при раскрытии логарифмов применяется неравенство, что если основание логарифма меньше единицы, то знак неравенства изменится на противоположный), как сделали это, приведя логарифмы к целому, не дробному основанию.
Затем сложим:
Умножим обе части на -1:
![\tt\displaystyle log_{\displaystyle6}(-x^{2}+13x-30)\leq 1\\\\\\log_{\displaystyle6}(-x^{2}+13x-30)\leq 6^{1}\\\\\\-x^{2}+13x-30 - 6 \leq 0\\\\\\x^{2}-13x+36\geq 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~x^{2}-13x+36=0\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~D=b^{2}-4\cdot a\cdot c = 169 -4\cdot 1\cdot 36=25=5^{2}\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2\cdot a}=\frac{13 \pm 5}{2}=9;~4\\\\\\(x - 9)\cdot(x - 4)\geq 0\\\\\\x\in(-\infty; 4]\cup[9; +\infty)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctt%5Cdisplaystyle%20log_%7B%5Cdisplaystyle6%7D%28-x%5E%7B2%7D%2B13x-30%29%5Cleq%201%5C%5C%5C%5C%5C%5Clog_%7B%5Cdisplaystyle6%7D%28-x%5E%7B2%7D%2B13x-30%29%5Cleq%206%5E%7B1%7D%5C%5C%5C%5C%5C%5C-x%5E%7B2%7D%2B13x-30%20-%206%20%5Cleq%200%5C%5C%5C%5C%5C%5Cx%5E%7B2%7D-13x%2B36%5Cgeq%200~~~~~~~~~~~~~~~~~~x%5E%7B2%7D-13x%2B36%3D0%5C%5C%5C%5C~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~D%3Db%5E%7B2%7D-4%5Ccdot%20a%5Ccdot%20c%20%3D%20169%20-4%5Ccdot%201%5Ccdot%2036%3D25%3D5%5E%7B2%7D%5C%5C%5C%5C~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_%7B1%2C2%7D%3D%5Cfrac%7B-b%5Cpm%5Csqrt%7BD%7D%7D%7B2%5Ccdot%20a%7D%3D%5Cfrac%7B13%20%5Cpm%205%7D%7B2%7D%3D9%3B~4%5C%5C%5C%5C%5C%5C%28x%20-%209%29%5Ccdot%28x%20-%204%29%5Cgeq%200%5C%5C%5C%5C%5C%5Cx%5Cin%28-%5Cinfty%3B%204%5D%5Ccup%5B9%3B%20%2B%5Cinfty%29 "\tt\displaystyle log_{\displaystyle6}(-x^{2}+13x-30)\leq 1\\\\\\log_{\displaystyle6}(-x^{2}+13x-30)\leq 6^{1}\\\\\\-x^{2}+13x-30 - 6 \leq 0\\\\\\x^{2}-13x+36\geq 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~x^{2}-13x+36=0\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~D=b^{2}-4\cdot a\cdot c = 169 -4\cdot 1\cdot 36=25=5^{2}\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2\cdot a}=\frac{13 \pm 5}{2}=9;~4\\\\\\(x - 9)\cdot(x - 4)\geq 0\\\\\\x\in(-\infty; 4]\cup[9; +\infty)")
Объединим ОДЗ логарифмов и решение:
![\tt\displaystyle x\in(3; 10)~~~~~~~~~~and~~~~~~~~~~x\in(-\infty; 4]\cup[9; +\infty)\\\\\\x\in(3; 4]\cup[9;10)](https://tex.z-dn.net/?f=%5Ctt%5Cdisplaystyle%20x%5Cin%283%3B%2010%29~~~~~~~~~~and~~~~~~~~~~x%5Cin%28-%5Cinfty%3B%204%5D%5Ccup%5B9%3B%20%2B%5Cinfty%29%5C%5C%5C%5C%5C%5Cx%5Cin%283%3B%204%5D%5Ccup%5B9%3B10%29 "\tt\displaystyle x\in(3; 10)~~~~~~~~~~and~~~~~~~~~~x\in(-\infty; 4]\cup[9; +\infty)\\\\\\x\in(3; 4]\cup[9;10)")